Chapitre 2 — Données, variables et matrice $X$

🎯 Objectifs d'apprentissage

Définir une donnée et distinguer les types de variables.
Connaître les opérations mathématiques autorisées selon le type de variable.
Distinguer les sources et les niveaux de structuration des données.
Définir la matrice de design $X \in ℝ n\timesp$ et construire ses dimensions.

2.1 — Qu'est-ce qu'une donnée ?

📘 Définition à connaître

Donnée : le résultat d'une observation faite sur une population ou sur un échantillon.

Dodge, 2007

main_2.pdf, p. 3

Une donnée est un nombre, une caractéristique, qui nous apporte une information sur un individu, un objet ou une observation. Par exemple, « 33 » est un nombre sans intérêt. Mais si quelqu'un vous dit « J'ai 33 ans », 33 devient une donnée qui vous permettra d'en savoir un peu plus sur lui. Généralement, on lie les données à des variables parce que le nombre/la caractéristique varie si on observe plusieurs objets/individus. C'est le matériau brut que va manipuler le Data Scientist.

2.2 — Types de variables

Variables quantitatives

Ce sont des valeurs qui décrivent une quantité mesurable, sous la forme de nombres sur lesquels on peut faire des calculs et des comparaisons. Elles répondent typiquement à des questions du type « combien ».

Sous-type	Description	Exemples
Quantitatives continues	Peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un ensemble de valeurs	Température, taux de chômage
Quantitatives discrètes	Ne peuvent prendre qu'un nombre limité de valeurs	Nombre d'enfants par famille, nombre de pièces d'un logement

Variables qualitatives

Ce type de données décrit des qualités ou des caractéristiques. Elles répondent à des questions de la forme « quel type ». Ces valeurs ne sont plus des nombres, mais un ensemble de modalités. On ne peut pas faire de calcul sur ces valeurs, mais elles peuvent être comparées entre elles.

Sous-type	Description	Exemples
Qualitatives nominales	Les modalités ne peuvent être ordonnées	Couleur des yeux, sexe
Qualitatives ordinales	Les modalités sont ordonnées selon un ordre logique	Tailles de vêtements (S, M, L, XL), mention au BAC

Opérations supportées par type de variable

Type de données	Opérations supportées
Quantitatives continues	Calculs, égalité/différence, infériorité/supériorité
Quantitatives discrètes	Calculs, égalité/différence, infériorité/supériorité
Qualitatives nominales	Égalité/différence
Qualitatives ordinales	Égalité/différence, infériorité/supériorité

main_2.pdf, p. 5–7

⚠️ Attention

Une variable qualitative nominale codée en nombres (couleur des yeux : 1 = bleu, 2 = vert, 3 = marron) reste qualitative. On ne peut pas calculer la moyenne de ces codes.

Ne confondez pas quantitative discrète (nombre de pièces : 1, 2, 3 — moyenne calculable) et qualitative ordinale (mention : Passable, Bien, Très Bien — l'écart arithmétique n'a pas de sens).

2.3 — Sources de données et niveaux de structuration

Sources de données

Catégorie	Description	Exemples
Privées	Données qui n'appartiennent qu'à une personne ou à son organisation	Emails, photos, capteurs, logs (activité humaine et machines)
Publiques	Accessibles à tous	Open data, open API (Google, Twitter), Web

Niveaux de structuration

Niveau	Description	Exemples
Structuré	Données indexées, prêtes à être traitées	Base de données d'entreprise, SGBDR
Semi-structuré	Fichiers simples à traiter, sans indexation propre	XML, CSV, logs, JSON
Non structuré	Données complexes à manipuler ; nécessitent des transformations	Images, vidéos, texte, signaux

main_2.pdf, p. 8–15

🔗 Lien mathématique

Pour être exploitables par un algorithme de ML, les données non structurées doivent être transformées en vecteurs de caractéristiques. Exemple : une image de 100 × 100 pixels en couleur (RVB) peut être représentée par un vecteur de 100 × 100 × 3 = 30 000 valeurs.

2.4 — La matrice de design $X$

📘 Définition à connaître

Matrice de design (ou matrice de données) : matrice $X \in ℝ n\timesp$ où :

$n$ = nombre d'observations (individus, exemples) — ce sont les lignes.
$p$ = nombre de variables (attributs, caractéristiques, features) — ce sont les colonnes.
$x ij$ = valeur de la $j$ -ème variable pour la $i$ -ème observation.

X = (\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1 p} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2 p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \dots & x_{n p} \end{matrix}) \in ℝ^{n \times p}

main_2.pdf, p. 16–17

Si le tableau n'a qu'une seule colonne ( $p = 1$ ), on ne parle plus de matrice, mais de vecteur $x⃗$ .

✏️ Exemple guidé — Appartements

Soit un relevé de 3 appartements décrits par 2 variables :

Appartement	Surface (m²)	Pièces	Prix (k€)
1	50	2	150
2	80	4	240
3	120	5	380

X = (\begin{matrix} 50 & 2 \\ 80 & 4 \\ 120 & 5 \end{matrix}) \in ℝ^{3 \times 2}, y = (\begin{matrix} 150 \\ 240 \\ 380 \end{matrix})

Dimensions : $n = 3$ lignes (observations), $p = 2$ colonnes (variables).

✏️ Exemple guidé — Fisher Iris

Dans le jeu de données Fisher Iris (Atelier_1.pdf) :

Nombre d'échantillons : $n = 150$ fleurs.
Nombre de caractéristiques : $p = 4$ (longueur/largeur des sépales et pétales).
Type : quantitatives continues réelles positives.
Dimension de la matrice : $X \in ℝ 150 \times 4$ .

⚠️ Attention — dimensions et notation

Écrivez $X \in ℝ n\timesp$ (lignes = observations, colonnes = variables), et non $X \in ℝ p\timesn$ . Le professeur utilise parfois $m$ ou $N$ pour $n$ , et $n$ ou $d$ pour $p$ . Dans ce manuel, nous utilisons systématiquement $n$ et $p$ .

Toutes les variables qualitatives doivent être recodées en valeurs numériques (par exemple One-Hot Encoding ou discrétisation) avant de construire la matrice $X$ .

📌 À retenir

Une donnée est le résultat d'une observation (Dodge, 2007).
Variables quantitatives (continues/discrètes) vs qualitatives (nominales/ordinales).
Les calculs ne sont autorisés que sur les variables quantitatives.
Trois niveaux de structuration : structuré, semi-structuré, non structuré.
$X \in ℝ n\timesp$ est le format d'entrée universel des algorithmes de ML.

🎯 À l'examen

Pour les variables suivantes, donnez leur type exact : (a) température en °C, (b) code postal, (c) mention au BAC, (d) nombre de clics.
Quelles sont les opérations autorisées sur une variable qualitative ordinale ?
Un fichier son est une donnée non structurée. Comment le transforme-t-on pour la matrice $X$ ?
Vrai/Faux : on peut calculer la moyenne d'une variable nominale codée 1, 2, 3. Justifiez.

Questions de vérification

Définissez une matrice de design $X$ et donnez la signification de ses dimensions $n$ et $p$ .
Pour les variables suivantes, donnez leur type exact : (a) température en °C, (b) code postal, (c) mention au BAC, (d) nombre de clics.
Quelles sont les opérations mathématiques autorisées sur une variable qualitative ordinale ?
Un fichier son est une donnée non structurée. Comment le transforme-t-on pour la matrice $X$ ?
Vrai ou Faux : on peut calculer la moyenne arithmétique des valeurs d'une variable nominale codée 1, 2, 3. Justifiez.

Chapitre 2 — Données, variables et matrice \(X\)

2.1 — Qu'est-ce qu'une donnée ?

2.2 — Types de variables

Variables quantitatives

Variables qualitatives

Opérations supportées par type de variable

2.3 — Sources de données et niveaux de structuration

Sources de données

Niveaux de structuration

2.4 — La matrice de design \(X\)

Questions de vérification